דלג לתוכן
חזרה לספריית הפיזיקה

מכניקת הקוונטים - מדריך מלא

מדריך עברי מלא ומעמיק למכניקת הקוונטים - מהניסוי של פלאנק ועד לבעיית המדידה. אינטואיציה תמיד לפני הנוסחה, צעד אחר צעד.

הפיזיקה של הקטן־קצת־בלתי־מתקבל־על־הדעת. המדריך הזה בנוי כמו הדבר עצמו: אינטואיציה תמיד לפני הנוסחה. כל פרק מסביר למה הדבר נכון קודם, ורק אחר כך כותב אותו במתמטיקה. קראו מהורהר, ועשו את החישובים בידיים.

המשפט שמנהל את הכל - משוואת שרדינגר

iℏ∂∂tΨ(r,t)=H^Ψ(r,t)i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf r,t)=\hat H\Psi(\mathbf r,t)

תגלו מה פירוש כל סמל כאן - זה בדיוק מה שהמדריך בא ללמד.

01

רקע היסטורי: מהאור עד לקוונט

איך שלושה מצוקים בפיזיקה הקלאסית הכריחו את קיומו של הקוונט

בסוף המאה ה־19 נראתה הפיזיקה כמעט גמורה: ניוטון, מקסוול ותרמודינמיקה הסבירו את רוב העולם. נשארו רק "עננים קטנים" באופק. שום דבר לא העלה על הדעת שאותם עננים יהפכו לכל הפיזיקה המודרנית.

ספקטרום גוף שחור ואסון העל־סגול

כל גוף חם פולט קרינה. עמוד ברזל שמתחמם נעשה אדום, אחר כך כחול־לבן. הפיזיקאים של 1900 תיארו את הקרינה הזו כגלים אלקטרומגנטיים, וניסו לחשב "כמה בהיר בכל צבע". החישוב ה"נכון" לפי התיאוריה הקלאסית נתן, בגלים קצרים מאוד, אנרגיה אינסופית - תוצאה אבסורדית שכונתה אסון העל־סגול (כך שנקרא כי האסון קורה בצד העל־סגול של הספקטרום).

קוונט הפלאנק

מקס פלאנק גילה שכדי להתאים לניסוי יש להניח שאנרגיית גל לא ניתנת לחלוקה חופשית - היא באה ב"מנות" בדידות. גודל המנה פרופורציונלי לתדירות הגל, עם קבוע פרופורציה חדש שסומן hh:

קוונט האנרגיה של פלאנק

E=hfE=hf
h=6.626×10−34 J sh=6.626\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}

פלאנק ראה בזה תחבולה מתמטית נוחה. לא הוא, אלא אלברט איינשטיין, אחז ברעיון ברצינות.

האפקט הפוטואלקטרי

כשמאירים על מתכת היא פולטת אלקטרונים. הניסוי הראה משהו מוזר: האלקטרונים לא נפלטים בכל תדירות, רק מעל תדירות סף - ושווה־הערך לא תלוי בעוצמת האור, רק בצבע שלו. בתיאוריית גלים קלאסית זה בלתי אפשרי: אור עמום ארוך אמור לצבור לאט אנרגיה ולפלוט אלקטרון.

איינשטיין הסביר שכל פוטון נושא אנרגיה E=hfE=hf ומעביר אותה לאלקטרון אחד. האנרגיה שצריך כדי לחפור את האלקטרון מהמתכת נקראת WW (פונקציית עבודה), והיתרה הופכת לאנרגיה קינטית:

האפקט הפוטואלקטרי (איינשטיין, 1905)

Ekin=hf−WE_\text{kin}=hf-W

דוגמה מחושבת

אור על־סגול בתדירות f=1.0×1015f=1.0\times10^{15} הרץ פוגע במתכת עם W=3.0 eVW=3.0\ \mathrm{eV}. אנרגיית הפוטון: hf=6.626×10−34×1.0×1015hf=6.626\times10^{-34}\times1.0\times10^{15} ≈4.1 eV\approx4.1\ \mathrm{eV}. מכאן Ekin≈4.1−3.0=1.1 eVE_\text{kin}\approx4.1-3.0=1.1\ \mathrm{eV}. צבע עמום יותר, למשל f=5×1014f=5\times10^{14} (כ־2.1 eV2.1\ \mathrm{eV}), לא יוציא שום אלקטרון. אפס, לא כמה.

האטום של בוהר

אם אנרגיה באה במנות, למה האלקטרון באטום לא מתמוטט לתוך הגרעין תוך קריסה ספירלית? נילס בוהר הציע שמורבות האלקטרון באטום מוגבלות ל"מסלולים" בעלי ערכי אנרגיה בדידים. קטן־בצורה מתמטית, וזה נתן את הנוסחה המפורסמת:

רמות האנרגיה של אטום המימן

En=−13.6 eVn2,n=1,2,3,…E_n=-\frac{13.6\ \mathrm{eV}}{n^2},\qquad n=1,2,3,\dots

הסימן השלילי הוא צמיחה: "אפס" הוגדר כאלקטרון חופשי לחלוטין, והאלקטרון הקשור נמצא "בתוך הבור" - במרחק של אנרגיה שלילית מגרעין. ככל שמגדילים nn, הרמות מצטופפות קרוב לאפס. בקפיצה מרמה nin_i ל־nfn_f נפלט פוטון באנרגיה ΔE=Ei−Ef\Delta E=E_i-E_f.

דוגמה מחושבת

הקפיצה מרמה 2 לרמה 1: E2=−13.6/4=−3.4 eVE_2=-13.6/4=-3.4\ \mathrm{eV} ו־E1=−13.6 eVE_1=-13.6\ \mathrm{eV}, אז ΔE=−3.4−(−13.6)=10.2 eV\Delta E=-3.4-(-13.6)=10.2\ \mathrm{eV}. זה האור האולטרה־סגול של סדרת לימן.

02

גל וחלקיק: הדואליות

אור הוא חלקיק, והאלקטרון הוא גל - ואין סתירה, יש דואליות

אם אור - שחשבנו שהוא גל - מתנהג כחלקיק, אולי חלקיקים מתנהגים כגלים? לואי דה־ברולי הפך את הנוסחה של איינשטיין ונתן לכל חלקיק בעל תנע אורך גל:

אורך גל דה־ברולי

λ=hp\lambda=\frac{h}{p}

היקף החשיבה: p=mvp=mv עבור חלקיק קלאסי, אז אובייקט מקרוסקופי (כדור פינג־פונג) יוצא אורך גל ∼10−34\sim10^{-34} מטר - בלתי מורגש לחלוטין, לכן אנחנו תמיד רואים אותו כתבנית. האלקטרון, קל ואיטי דיו, גל בולט.

דוגמה מחושבת

אלקטרון מואץ ב־V=150V=150 וולט נושא אנרגיה קינטית 150 eV150\ \mathrm{eV}. אורך הגל שלו יוצא λ≈0.1 nm\lambda\approx0.1\ \mathrm{nm} - בערך גודל האטום. למה זה משנה? כי זה בדיוק האורך שבו האלקטרון "רואה" את מבנה החומר.

ניסוי שני הסדקים עם חלקיקים בודדים

הקליע הקלאסי: אש בחריצים, והצטברות על המסך תהיה שתי כתמים. הקליע הקוונטי: אם ממשיכים את הניסוי עם אלקטרון אחד בכל פעם - כל פליטה נקודה אחת על המסך - עדיין המצטבר אינו שני כתמים אלא תבנית הפרעות עם פסים בהירים וכהים.

אם מנסים "לרגל" - לשים גלאי ליד סדק כדי לתפוס איפה עבר - התבנית נעלמת מיד ומופיעים שני כתמים. הרגל הורס את הקוהרנטיות: כבר ידענו דרך־מה איפה, ואי־הידיעה היא מה שמאפשר להפרעות. זה רמז מוקדם לעקרון אי־הוודאות.

03

עקרון אי־הוודאות

ככל שיודעים יותר על המקום, יודעים פחות על התנע - ולזה יש נוסחה

כל גל מקומי בדיוק (חבילת גלים) בנוי מערבוב של הרבה גלים בעלי אורכי גל שונים. גל קצר מאוד = ידיעה מצוינת על λ\lambda = על התנע p=h/λp=h/\lambda - אבל הוא מפורק לרחבה אינסופית. גל צר מאוד במיקום חייב להכיל שילוב רחב של גלים, כלומר תנודות רבה.

ורנר הייזנברג נתן לזה כמות מדויקת. הקשר בין אי־הוודאויות במיקום Δx\Delta x ובתנע Δp\Delta p חסום מלמטה, כשהקבוע המתוקן ℏ\hbar מגדיר את סף הקוונטי:

עקרון אי־הוודאות של הייזנברג

Δx Δp≥ℏ2,ℏ=h2π≈1.055×10−34 J s\Delta x\,\Delta p\ge\frac{\hbar}{2},\qquad \hbar=\frac{h}{2\pi}\approx1.055\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}

דוגמה מחושבת

אלקטרון סגור בו־זמנית בדיוק של Δx=1.0×10−10\Delta x=1.0\times10^{-10} מטר (גודל אטום): Δp≥ℏ/(2Δx)≈5.3×10−25\Delta p\ge\hbar/(2\Delta x)\approx5.3\times10^{-25} ק"ג·מ/ש"ש. זה "רטיבות" גדולה - האלקטרון חייב להיות בתוך בועה של תנע, ולכן ערכי האנרגיה שלו באטום אסורים להיות חדים: מכאן נובעות הרמות של בוהר.

וזה לא סיפור של "המכשיר מפריע למדידה" בלבד. אפילו עם מדידה מושלמת - שהמנגנון עצמו, הפיזיקה של הגל, אינו נושא בו־זמנית מיקום חד ותנע חד. אי־הוודאות היא תכונה של המצב, לא הגבלת ציוד.

04

פונקציית הגל

את כל מה שיש לדעת מרוכז בפונקציה אחת - וכלל נולד מציין את ההסתברות

אפינו את כל מצב חלקיק בפונקציית גל Ψ(x,t)\Psi(x,t), ערך גל (כולל מורכב) על כל נקודה במרחב. היא איננה מדידה אלא אמפליטודת הסתברות. הכלל שמחבר אותה לעולם הנראה נקרא כלל בורן:

כלל בורן (הסתברות למיקום)

P(x) dx=∣Ψ(x,t)∣2 dxP(x)\,dx=|\Psi(x,t)|^2\,dx

∣Ψ∣2|\Psi|^2 היא צפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק ב־xx. כדי שזה יהיה הגיוני, סך ההסתברות על המרחב חייב להיות 1:

נִרמול

∫−∞+∞∣Ψ(x,t)∣2 dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi(x,t)|^2\,dx=1

ערך תוחלת - למשל של המיקום - הוא הממוצע המשוקלל על כל הנקודות, כשהמשקל הוא צפיפות ההסתברות:

ערך תוחלת של המיקום

⟨x⟩=∫−∞+∞x ∣Ψ(x,t)∣2 dx\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}x\,|\Psi(x,t)|^2\,dx
05

משוואת שרדינגר

החוק של איך פונקציית הגל מתפתחת בזמן

איך משתנה Ψ\Psi בזמן? עקרון: אנרגיה היא "מה שגורם לזמן לרקוד". במכניקה קוונטית, האופרטור iℏ ∂/∂ti\hbar\,\partial/\partial t הוא האנרגיה, ומשוואת שרדינגר התלוית־זמן קובעת שפעולת האנרגיה על פונקציית הגל שווה לאנרגיה HH (ההמילטוניאן - האנרגיה הכוללת, קינטית + פוטנציאלית) כשהיא מופעלת על הגל:

משוואת שרדינגר התלויה בזמן

iℏ∂Ψ∂t=H^Ψi\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=\hat H\Psi

H^\hat H עבור חלקיק יחיד באנרגיה פוטנציאלית V(x)V(x) הוא H^=−ℏ22m∂2∂x2+V(x)\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x): הסדרה של "התנע בריבוע" (אנרגיה קינטית) + הפוטנציאל.

בור אינסופי (קופסת בידוד)

הדוגמה הכמעט־יחידה שנפתרת ביד: חלקיק תקוע בין שתי דפנות בלתי־חדירות ב־x=0x=0 ו־x=Lx=L. הפוטנציאל אינסופי מחוץ לקופסה, אפס בתוכה, ו-Psi חייב להיעלם בדפנות. נחפש מצבים נייחים בצורת גל עומד ψn(x)=Asin⁡(knx)\psi_{n}(x)=A\sin(k_nx) עם ψn(0)=ψn(L)=0\psi_n(0)=\psi_n(L)=0 ולכן kn=nπ/Lk_n=n\pi/L. מצבים הנייחים הם חבורות חצי־גלים:

רמות האנרגיה בבור אינסופי

En=n2π2ℏ22mL2=n2h28mL2E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}=\frac{n^2h^2}{8mL^2}

דוגמה מחושבת

אלקטרון בתוך קופסה רוחבה L=0.5 nmL=0.5\ \mathrm{nm}: E1=π2(1.055e−34)22(9.11e−31)(5e−10)2E_1=\frac{\pi^2(1.055e{-}34)^2}{2(9.11e{-}31)(5e{-}10)^2} ≈2.4×10−19 J≈1.5 eV\approx2.4\times10^{-19}\ \mathrm J\approx1.5\ \mathrm{eV}. ואז En=n2E1E_n=n^2E_1: מצבים 2 = 6.0 eV6.0\ \mathrm{eV}, מצב 3 = 13.5 eV13.5\ \mathrm{eV}. נסו להמחיש בלון בלי־סוף בגבולות: כל מצב אסור "להכפיל את עצמו" - הגלים העומדים נספרים בערכים בדידים.

מינהור קוונטי

בגל, חלקיק מתנהג פחות כמו פגז ויותר כמו גל שמתפרק לתוך החומה. אם הפוטנציאל גבוה אבל רזה מספיק, חלקית הגל "מחלחלת" לצד השני גם כשהאנרגיה המכנית נמוכה מהחומה. משוואת ההמילטוניאן נותנת ירידה אקספוננציאלית בתוך החומה, וחלק מהזרימה יוצא בצד הנגדי.

מינהור הוא לא תיאוריה אקזוטית - הוא הלב של טכנולוגיות יום־יומיות:

  • מיקרוסקופ מינהור (STM): זרם של אלקטרונים המנהרים בין מחט לאטום. זרם המנהרה רגיש מאוד למרחק, ולכן מאפשר צילום של אטומים בודדים על פני שטח.
  • מזעור בשמש ובכוכבים: בשמש אנרגיות ההתנגשות לבד נמוכות מדי להתגבר על הדחייה החשמלית בין פרוטונים. המינהור נותן קצב מספיק לאיחוי גרעיני - הוא מה שמחזיק את הכוכבים חיים.
  • זיכרון פלאש: אלקטרונים מנהרים דרך שכבת מבודדת אל "תא" האחסון, ונלכדים שם. ההתעלות והחיים של המצב המאוחסן נשענים על מינהור מבוקר.
06

סופרפוזיציה

המצב הוא סכום, לא אחת - וזה אסור להישמע כמו מוזר אלא כמו בסיס המצע

מכיוון שפונקציית הגל עומדת במשוואה ליניארית, כל שילוב של פתרונות הוא גם פתרון:

סופרפוזיציה (מילה מפוארת ל'סכום')

Ψ=αΨ1+βΨ2\Psi=\alpha\Psi_1+\beta\Psi_2

היחסים ∣α∣2|\alpha|^2 ו־∣β∣2|\beta|^2 (שסכומם 1) אומרים את משקל כל מצב בסופרפוזיציה. שני מצבים בסופרפוזיציה יכולים להתערב זה בזה: צפיפות ההסתברות כוללת מונח צולב 2∣αβ∣2|\alpha\beta| שאחראי להפרעות שראינו בניסוי שני הסדקים.

למה קיוביט הוא סופרפוזיציה

קיוביט (סיבית קוונטית) שונה מסיבית קלאסית: הסיבית היא או 00 או 11. הקיוביט יכול להיות בו־זמנית α∣0⟩+β∣1⟩\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle - מצב על כל הכדור של האפשרויות. בזמן שחישוב קלאסי סורק ערכים בזה אחר זה, מניפולציה על קיוביט פועלת על כל הסופרפוזיציה ביחד. זה מקור חלק מכוח המחשוב הקוונטי - אם כי יש לבחון "ביחד" בזהירות: אנחנו לא "קוראים" את כל הערכים בבת־אמת, כי קריאה כובלת לבסיס.

07

ספין

תכונה פנימית של החלקיק, לא תנועה במרחב - עם גודל קוונטי מדויק

מעבר למיקום ולתנע, לאלקטרון (ולכל חלקיק) תכונה פנימית: ספין - מומנט מתחום פנימי (תנע זוויתי). הוא איננו "החלקיק מסתובב סביב עצמו" - אין לו רדיוס. אבל הוא נושא גודל, וכיוון, ומשתתף בכמויות פיזיקליות כמו מגנטיות. האלקטרון הוא ספין־חצי:

גודל הספין של האלקטרון

sz=±ℏ2s_z=\pm\frac{\hbar}{2}

כיוון המדידה נבחר לשרירות, אבל התוצאה מקוונטת: רק שני ערכים, +ℏ/2+\hbar/2 (למשל) ו־−ℏ/2-\hbar/2. לא "משהו ביניהם".

ניסוי שטרן־גרלך

מעבירים אטום בעל ספין דרך מגנט לא־אחיד. בתיאוריה פשוטה של מגנט קטן היה צפוי להתפלג על רצף של השפעות. במקום זאת, האטום מתפצל לשני ערוצים ברורים. ההוכחה הניסיונית שהספין מקוונט.

08

הסתבכות קוונטית

מצבים של כמה חלקיקים שלא נפרמים לשני חלקיקים נפרדים

מצבים של מערכת דו־חלקיקית יכולים להתפרק כמכפלה של מצב חלקיק א' במצב חלקיק ב'. אבל יש מצבים שאי־אפשר לכתוב כך - למשל מצב בל:

מצב בל מתמטי (לא ניתן לכתיבה כמכפלה)

∣Ψ⟩=12(∣↑A↓B⟩−∣↓A↑B⟩)|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}\bigl(|\uparrow_A\downarrow_B\rangle-|\downarrow_A\uparrow_B\rangle\bigr)

אין אף "מצב של A לבדו" ו"מצב של B לבדו" שהמכפלה שלהם תתן את הקבוצה הזאת. מדד: אם מודדים ספין על A ונקבל ↑\uparrow, המדידה על B תמיד תיתן ↓\downarrow - קורלציה מושלמת, בלי קשר למרחק שבין החלקיקים.

משפט בל: מה אסור ל"משתנים חבויים"

ג'ון בל הוכיח מתמטית: אם קיימת תיאוריה "מקומית" שקלה לחלוקת תוצאות מראש (כל חלקיק נושא ערכים מוגדרים לכל מדידה אפשרית), אז הקורלציות חייבות לעקוב אחר אי־שוויון ברור. הניסויים (Aspect וחוקריו) הראו שהעולם מפר את אי־השוויון של בל - בקנה אחד עם משוואת שרדינגר, וסותר כל תיאוריה של משתנים חבויים מקומיים.

רגוע: אין שידור מהיר מהאור

למרות הקורלציה, שום תוצאה של A אינה באמת "נשלטת" על ידי B. כל צופה רואה תוצאות אקראיות לחלוטין, ואינו יכול לזהות "התקשרות". כדי לחלץ תיאום, שני הצדדים חייבים להשוות את המדידות שלהם - והשוואה עצמה אינה מהרה מהאור. זה שומר על תורת היחסות: אף אות לא עובר מהר יותר מ־cc.

09

עקרון האיסור והטבלה המחזורית

מדוע שני אלקטרונים לא אוהבים לחיות באותו מצב - וזה בונה את כל הכימיה

חלקיקים עם ספין חצי (פרמיונים - אלקטרונים, פרוטונים, נייטרונים) מצייתים לכלל פשוט שנקרא עקרון האיסור של פאולי:

עקרון פאולי

לא ייתכנו שני פרמיונים זהים באותו מצב קוונטי מלא\text{לא ייתכנו שני פרמיונים זהים באותו מצב קוונטי מלא}

שני אלקטרונים באטום עלולים לחלוק את אותה רמת אנרגיה רק אם הם נבדלים בספין (↑\uparrow מול ↓\downarrow). ברגע שהזוג נוצר, המצב "תפוס". האלקטרון השלישי חייב למצוא רמה גבוהה יותר.

זה בונה את הטבלה המחזורית: האלקטרון שממלא שורות חדשות מעצב את התכונות הכימיות. גזים אצילים = שורות מלאות (יציבות ובלתי מגיבות). מתכות אלקליות = שורה שמלאה בדיוק באלקטרון אחד - הן נשמות לחלוק אותו. עקרון האיסור הוא הסיבה שהחומר אינו קורס ואינו "נדבק" לכל דבר.

10

בעיית המדידה

מה קורה כשמסיטים את הוילון? השאלה שאף תיאוריה לא סוגרת - ובצדק

פונקציית הגל מתארת מצב סופרפוזיציה. אבל בכל מדידה אמיתית מקבלים תוצאה אחת, מוגדרת. השאלה "מי/מה/איך" הכריע את הסופרפוזיציה קרויה בעיית המדידה. יש לה מגוון הצעות - וזו שאלה פתוחה בפיזיקה:

קריסה (פירוש קופנהגן)

המדידה "קורסת" את פונקציית הגל בתוצאה אחת. פשוט וחזק, אבל לא מגדיר בדיוק מה נחשב "מדידה", וקריסה היא מעבר שאין מנגנון דינמי לו במשוואת שרדינגר.

עולמות מרובים

אין קריסה. כל התוצאות קורות - כל אחת ב"עולם" אחר שזוכה לתפיסה נפרדת. האלקטרון לא בוחר; ה"צופה" מסתעף. חסכוני במכניקה, מוזר בהקשר חווייתי.

דקוֹהרנס (סביבה)

המצב הקוונטי מתערבב עם הסביבה הענקית (אטומי האוויר, פוטונים), הקריסה "מוחבאת" כרצף של התערבויות שלא ניתן להבחין בהם. מסביר למה סופרפוזיציות מתפוגגות בשות עם גדול - אבל עדיין לא מצביע על "טופס התוצאה".

המדריך מציג את שלושתן ברצינות: אין כרגע ניסוי שמכריע ביניהן. הקוונטי הוא תאוריה אדירה ומדויקת של התחזיות, ובעיית המדידה היא המקום שבו פילוסופיה ופיזיקה נפגשים.

11

סיכום ותמונה גדולה

שמונה רעיונות בשמונה משפטים, ואז החוט שמחבר הכל

  1. 01
    אנרגיה קוונטית - אנרגיה באה במנות, E = hf, וה־h של פלאנק מגדיר את הסקאלה.
  2. 02
    דואליות גל־חלקיק - λ = h/p: כל חלקיק נושא גל, וכל גל נושא חלקיק.
  3. 03
    אי־וודאות - ΔxΔp ≥ ħ/2: אי־אפשר לחדד מקום ותנע בו־זמנית.
  4. 04
    פונקציית גל - Ψ מחזיקה את כל המידע; |Ψ|² היא ההסתברות (כלל בורן).
  5. 05
    משוואת שרדינגר - iħ∂Ψ/∂t = ĤΨ שולטת בהתפתחות; ממנה באים בור, מינהור וספקטרום.
  6. 06
    סופרפוזיציה - מצבים מצטברים; קיוביט חי בסופרפוזיציה, והפרעות נובעות ממונחי צלב.
  7. 07
    ספין - תכונה פנימית מקוונטת (ħ/2) שתומכת במצבים בינאריים.
  8. 08
    הסתבכות - מצבים דו־חלקיקיים שאינם מתפרקים; קורלציות אמיתיות אבל אין שידור מהיר.
  9. 09
    איסור פאולי - אין שני פרמיונים זהים באותו מצב - מכאן הטבלה המחזורית.
  10. 10
    בעיית המדידה - קריסה, עולמות או דקוהרנס - שאלה פתוחה, לא פגם.

החוט המחבר

כל שמונת הרעיונות נובעים משתי אמיתות: מצב הוא גל (פונקציית גל Ψ\Psi, צוואותיה מניעה את כל ההתנהגות), ו"יצירת מדידה" היא התגלות של ∣Ψ∣2|\Psi|^2 (הסתברות). משם נובעים מינהור, ספין, הסתבכות ובעיית המדידה. הבנתם את שתי האמיתות - הבנתם מכניקה קוונטית.